MATEMATICAS VI

 

CUADRÁTICA Y LINEAL  

"RELACIONES Y FUNCIONES" 

RELACIÓN:

Es la regla que asocia elementos de un conjunto, denominado dominio,con al menos un elemento de otro conjunto llamado codominio o contradominio

DOMINIO 

Conjunto de valores que toma la variable x para los que la función está definida

Se denomina rango o recorrido de una función al conjunto de los valores reales que toma la variable y o f(x).

                  

CONTRADOMINIO 

 También mencionada como conjunto de llegada, conjunto final o codominio, se emplea en el ámbito de las matemáticas. El concepto aparece al aludir a las funciones.

                       

RANGO:

es el conjunto de números que dependen de la sustitución (tabulación) de los valores que puede tomar “x”, es decir, del dominio. Este conjunto de números es llamado “rango” y está ubicado en eje “y” (abscisas).

IMAGEN

Se llama imagen o recorrido de una función en el cual se concentran todos los vaores que toman las variables independientes al evaluados por la función 

REGLA DE CORRESPONDENCIA 

Relaciona las variables de una función por medio de las operaciones aritméticas, logaritmos, exponentes, funciones trigonométricas, etc.
Cuando tenemos una igualdad, donde las variables están relacionadas directamente en uno o ambos miembros, de la ecuación, al despejar una de ella se obtiene una expresión en la cual la variable dependiente adquiere los valores que están en función de la variable independiente; de esta forma, se establece la regla de correspondencia con la cual los valores asignados a la variable independiente definen los de la variable dependiente; así, se asigna un valor a la variable independiente y evalúa la funcion para obtener un resultado, que corresponde a la imagen de esta. 

FORMULA: F(x)= x+1

GRÁFICA:

La gráfica de una función es el conjunto de puntos en el plano de la forma (x,y) en donde x está en el dominio de la función y además y=f(x).

FUNCION 

Es una relación a la cual se añade la condición de que a cada valor del Dominio le corresponde uno y sólo un valor del Recorrido.

FUNCIÓN INYECTIVA 

Es Una función inyectiva, por lo tanto, es aquella que, a distintos elementos del conjunto inicial (el dominio), les corresponden distintos elementos del conjunto final (el codominio).

EJEMPLO

Determina  si la función f(x)=x2, cuyo dominio se define como Domf, N, ES INYECTIVA. 

Solución: Recordemos que el conjunto de los números reales naturales esta formado por elementos N= {1,2,3,4,5...} 

Por inspección de la función es evidente que para cada natural, al elevarlo al cuadrado, le corresponde un único valor como imagen; por lo tanto es inyectiva.

EJEMPLO 2: 

Determina si la función f(x)=x2, cuyo dominio se define como Dom F= Z, es inyectiva 

Solución: 

Recordamos que el conjunto de los numeros enteros esta formado por los elementos Z={...,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,.....}

Por análisis, notamos que 2 valores diferentes de x se obtiene un mismo valor en el rango, un ejemplo de ello es..

senx1=1yx2-1

(1)2=1y(-1)2=1

f(x)=x2 no es inyectiva para el conjunto de números enteros 

FUNCIÓN SOBREYECTIVA

Se le denomina de esta forma a las funciones donde, si dado un elemento arbitrario y perteneciente al contradominio, existe un elemento x del dominio de tal forma que f(x) = y; es decir, que una función es sobreyectiva si cada elemento del contradominio es imagen de al menos un elemento del dominio.  

EJEMPLO: 

Determina Si la función f(x)=x2, cuyo dominio es domf=N, es sobreyectiva.

Solución: 

De inicio podemos deducir que no es sobreyectiva, ya que no existe un valor de x que satisfaga la igualdad f(x)=2, tal que pertenezca al conjunto de los números naturales. 

EJEMPLO 2 

Sean los conjuntos : A={a,b,c,d} y B={1,2,3,4,5}, de tal forma que f(a)=1, f(b)=3, f(c)=2, f(d)=5. ¿La función es sobreyectiva?

Solución:

Como se puedeobservar, el elemento 4 que pertenece al conjunto B no es imagen de ningun elemento del conjunto A; por lo tanto; por lo tanto no es sobreyectiva. 

EJEMPLO 3: 

Explicación:

La primera si su exponente es par va de los reales a los reales y no abarca todo el eje y

Es por eso que no es sobreyectiva

Y la segunda si lo es por que su exponente es impar, abarca todo el eje Y, por qué arranca en un infinito y termina en un infinito contrario

FUNCIÓN INVERSA :

Una función inversa o también llamada recíproca es aquella que cumple que el dominio es igual al recorrido de la función original y su recorrido es igual al dominio de la misma función, es decir,  si f es una funcion inyectiva y sobreyectiva don dominio formado en f(x) y rango en f(x)entonces la funcion g con dominio en f(x) y rango en x, se le denomina función inversa de f si cumple que: 

f(g(x))=x para todo x en f(x) 

g(f(x))=x para todo x en el dominio de x.

Por otro lado f-1  no se representa por 1/f(x), ya que esta ultima expresion el reciproco de [f(x)]-1

Consiste en despejar con la variable y después intercambiar a x por y en el despeje, de tal forma que al tabular la función invertida se obtiene una grafica que es simétrica a la función original.

EJEMPLO:

EJEMPLO 2: 

FUNCIÓN DECRECIENTE:

Diremos que una función es decreciente cuando a medida que el valor de la variable independiente aumenta el valor de la función disminuye. En términos de derivada; Diremos que una función f es decreciente cuando su derivada es negativa , es decir una función es decreciente cuando f´<0. También se puede definir como x1> x2.f(x1)>(x2)

Una funcion estrictamente decreciente es aquella que cumple: la condición: x1> x2. f(x1)>(x2), es decir, para los valores de x tomados del dominio, conforme estos aumentan, los valores correspondientes de la imagen disminuyen. 

EJEMPLO: 

FUNCIÓN CRECIENTE

Una función creciente f es una función tal que al aumentar la variable independiente x, aumenta la variable dependiente y. Se define com una monotona creciente:

x1>x2. f(x)> f(x2) 

Una funcion estrictamente creciente es aquella que cumple la condicion: 

x1<x2. f(x1)>f(x2)

Ess decir, para los valores de x tomados del dominio, conforme estos aumentan, los valores correspondientes de la imagen tambien aumentan. son las que van de izquierda a derecha en diagonal. 

EJEMPLO: 

FUNCIÓN CUADRÁTICA 

Una función cuadrática es un tipo de función matemática donde la variable principal se eleva al cuadrado, es decir, se multiplica por sí misma. En términos más simples, en esta función, la variable principal aparece con un exponente 2.

Este tipo de función también es conocida como función de segundo grado, debido a que el mayor exponente de la variable es dos

Tiene a siguiente forma:   f(x) = ax² + bx + c

 donde a, b y c son números reales y a ≠ 0.

EJEMPLOS: 

• EJEMPLO DE FUNCIÓN CUADRÁTICA 

 f ( x ) = 3x²+ 4x + 9

SIGNO DE  a: abre hacia arriba por que es positivo 

Discriminante:-b²-4ac: -(+4² - 4(3)(9)

1) multiplicar signos: (+)(-)=-

2) resolver el exponente 4² =16

3) multiplicar el segundo miembro  4(3)(9)= 108

4) operación -16-108= -124 

El - 124 no tiene raíz 

VÉRTICE 

X=-b/2a =

 (-)(4)/2(3)= 

-4/6 = -0.6

y=f(x)= 3(-o.6)²+4(-0.6)+9

          =3(-o.36)²+4(-0.6)+9

          =-1.08-2.4+9=5.52

Hipotético: 1.8-2.4+9=7.68

Raíces: no tiene por que <0 no tiene raíces 

Grafica: 

EJEMPLO DEL CONTEXTO EMPRESARIAL

Vamos a considerar un ejemplo concreto para ilustrar cómo resolver un problema de función cuadrática en el contexto empresarial.

Supongamos que una empresa manufacturera tiene un costo total de producción, dado por la función cuadrática:

\[ C(x) = 2x^2 - 8x + 12 \]

Donde \( x \) es la cantidad de unidades producidas. La empresa desea determinar la cantidad óptima de productos a fabricar para minimizar sus costos totales.

Para encontrar el punto óptimo, podemos seguir estos pasos:

1. *Calcular el vértice de la parábola*: El vértice de la parábola \( C(x) = ax^2 + bx + c \) se encuentra en el punto \( x = -\frac{b}{2a} \). En este caso, \( a = 2 \) y \( b = -8 \), entonces:

\[ x = -\frac{-8}{2 \times 2} = \frac{8}{4} = 2 \]

2. *Calcular el costo mínimo*: Una vez que tenemos el valor de \( x \), lo sustituimos en la función \( C(x) \) para encontrar el costo mínimo:

\[ C(2) = 2(2)^2 - 8(2) + 12 = 8 - 16 + 12 = 4 \]

Por lo tanto, el costo mínimo se alcanza cuando se producen 2 unidades y el costo total es de $4.

Este ejemplo ilustra cómo se puede utilizar una función cuadrática para optimizar la producción y minimizar los costos en una empresa manufacturera.

FUNCION LINEAL

Una función lineal es una función polinómica de primer grado. Es decir, tiene la siguiente forma: 

F(x)=m•x+n

Siendo m≠0

• m es la pendiente de la función
• n es la ordenada (en el origen) de la función

La gráfica de una función lineal es siempre una recta.

Ejemplo

EJEMPLO  

F(X)= 5X+13

EJEMPLO DEL CONTEXTO EMPRESARIAL

Claro, ahora consideremos un ejemplo con una función lineal en el contexto empresarial.

Supongamos que una empresa de servicios de limpieza cobra a sus clientes un precio fijo por visita más un costo adicional por hora de trabajo. La función lineal que modela el costo total de limpieza se puede expresar como:

\[ C(x) = mx + b \]

Donde:

- \( C(x) \) es el costo total de limpieza.

- \( x \) es el número de horas de trabajo.

- \( m \) es la tarifa por hora de trabajo.

- \( b \) es el costo fijo por visita.

Por ejemplo, si la tarifa por hora de trabajo es de $20 y el costo fijo por visita es de $50, la función sería:

\[ C(x) = 20x + 50 \]

Esta función lineal nos permite calcular el costo total de limpieza para cualquier cantidad de horas trabajadas.

Para un ejemplo específico, si la empresa de limpieza realiza un servicio que requiere 3 horas de trabajo, el costo total sería:

\[ C(3) = 20(3) + 50 = 60 + 50 = 110 \]

Por lo tanto, el costo total de limpieza para este servicio específico sería de $110.

ANTOLOGÍA